私も WebAPI について全然知識が無かったので少し調べてみました
WebAPI は HTTP を使ったサービスのようです
例えばこの質問掲示板のこのスレッドは
http://hpcgi2.nifty.com/natupaji/bbs/patio.cgi?mode=view&no=3173
という URL で開くことができますが、この中の patio.cgi?mode=view&no=3173 という部分で、
patio.cgi というプログラムを mode=view no=3173 というパラメータで
実行して、結果を得られるように指定しています
これと同じように WebAPI サービスも
http://appli.ntv.co.jp/ntv_WebAPI/program/?key=XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX&cast=太田&period_start=20080801&period_end=20081001
こんな感じで、URL の形でAPIを実行します
( 上記は日テレアプリという WebAPI の呼び出し例です )
なので、まずは HTTP を使いこなせるようになる必要があります
順番としては HTTP を使ってWebサイトの情報を取得できるような
プログラムを組めるようになってから、その応用で WebAPI を使ってみる
という感じになると思います
「HTTP クライアント 自作」などのキーワードでネット検索することで
C言語で HTTP クライアントを実装する方法が載っているサイトが見つかると思いますので、
調べてみてください
因みに HTTP は TCP/IP で実現されているプロトコルです
TCP/IP をC言語で使用する際は WinSock というAPIを使用します
なので上記検索で見つかる解説サイトでも WinSock を使用しています
DXライブラリの NetWorkSend などの通信機能も WinSock を使用した通信ですので、
DXライブラリが送信データに追加している情報を追加しないように設定すれば
解説サイトに載っている WinSock を使った通信プログラムをDXライブラリを
使ったプログラムに書き直すことができますが、WinSock の API がDXライブラリの
どの関数に対応しているのか考えながらプログラムを組むのは非効率だと思いますので、
WinSock を直接使われることをお勧めします